Вопрос школьника
Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями x=A1 sin ωt и y=A2 cos ωt, где A1=0,5 см; A2=2 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения
Ответ от учителя
Для нахождения уравнения траектории точки необходимо выразить координаты точки через время t и подставить их в уравнение x и y. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:
x = A1 sin ωt = 0,5 sin ωt
y = A2 cos ωt = 2 cos ωt
Выразим sin ωt и cos ωt через x и y:
sin ωt = x / A1
cos ωt = y / A2
Подставим эти выражения в тождество sin^2 ωt + cos^2 ωt = 1:
(x / A1)^2 + (y / A2)^2 = 1
Это уравнение описывает эллипс с полуосями A1 и A2. Таким образом, траектория точки является эллипсом с центром в начале координат и полуосями 0,5 см и 2 см.
Чтобы построить этот эллипс, можно нарисовать оси координат и отметить на них точки, соответствующие значениям x и y при t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π и т.д. Затем соединить эти точки плавными дугами, получив эллипс. Направление движения точки можно определить по направлению касательной к эллипсу в каждой точке.
