Вопрос школьника
Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.
Ответ от учителя
Пусть дана трапеция ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны, H — высота. Пусть точка пересечения биссектрис тупых углов при основании AB обозначена как E.
Так как точка E лежит на биссектрисе угла B, то угол AEB равен углу BEC. Аналогично, угол DEC равен углу CED. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол AEB + угол DEC = 180 градусов. Но угол AEB = угол DEC, так как они равны соответственным углам при параллельных прямых AB и CD. Значит, угол AEB = угол DEC = 90 градусов.
Таким образом, точка E является серединой высоты H и пересекает её в точке M. Точка M также является серединой отрезка BC. Значит, BM = MC = 8.5 см.
Так как AM = BM и DM = CM, то AD = 2BM = 17 см и BC = 2CM = 10 см.
Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (AB + CD) * H / 2. Подставляя известные значения, получаем: S = (17 + 10) * 8 / 2 = 102 см².
Ответ: площадь трапеции равна 102 см².
