Вопрос школьника
Точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от его сторон на 2 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 48 см2.
Ответ от учителя
Пусть параллелограмм имеет стороны a и b, а точка пересечения диагоналей находится на расстоянии 2 см и 4 см от сторон a и b соответственно. Обозначим эти расстояния через h1 и h2.
Из условия задачи известна площадь параллелограмма:
S = ab sin(α),
где α — угол между сторонами a и b.
Также известно, что точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам. Поэтому можно записать:
h1 = 0.5√(a^2 + b^2),
h2 = 0.5√(a^2 + b^2).
Теперь можно выразить sin(α) через h1 и h2:
sin(α) = 2S / ab = 96 / ab.
Также из треугольника, образованного стороной a, h1 и половиной диагонали, можно выразить длину диагонали через a и h1:
d1^2 = a^2 + h1^2.
Аналогично, из треугольника, образованного стороной b, h2 и половиной диагонали, можно выразить длину диагонали через b и h2:
d2^2 = b^2 + h2^2.
Теперь можно выразить периметр параллелограмма через a, b, d1 и d2:
P = 2(a + b) = 2(a + b + d1/2 + d2/2) = a + b + √(a^2 + h1^2) + √(b^2 + h2^2).
Подставляя выражения для h1, h2, sin(α), d1 и d2, получаем:
P = a + b + √(a^2 + 4^2) + √(b^2 + 2^2) = a + b + √(a^2 + 16) + √(b^2 + 4).
Теперь осталось найти a и b. Для этого воспользуемся формулой для площади параллелограмма:
S = ab sin(α) = 96 / √(a^2 + 16) √(b^2 + 4).
Возведя это выражение в квадрат и приведя подобные слагаемые, получаем:
a^2 b^2 + 16a^2 + 4b^2 + 384 = 0.
Это квадратное уравнение относительно a^2, которое можно решить, например, методом подстановки. После нахождения a^2 и b^2 можно найти a и b, а затем и периметр P.
