Вопрос школьника
Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и найдите отрезок BE
Ответ от учителя
Для начала, построим схему:
[](https://i.stack.imgur.com/5JZJL.png)
Из условия задачи, мы знаем, что отношение длин отрезков АВ и ВС равно 4:3. Это означает, что если мы обозначим длину отрезка АВ как 4х, то длина отрезка ВС будет 3х.
Теперь, мы знаем, что отрезок CD параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Это означает, что отрезок CD лежит в этой плоскости.
Также, мы знаем, что точка С лежит на отрезке АВ. Это означает, что точка С также лежит в плоскости α.
Теперь, мы можем провести прямую AD, которая пересечет плоскость α в некоторой точке E. Для того чтобы доказать это, нам нужно показать, что прямая AD не параллельна плоскости α.
Для этого, мы можем рассмотреть треугольник АВС. Мы знаем, что отношение длин отрезков АВ и ВС равно 4:3. Также, мы знаем, что отрезок CD параллелен плоскости α. Это означает, что отрезок CD параллелен отрезку ВС.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что треугольник АВС и треугольник АCD подобны. Это означает, что угол АCD равен углу АВС.
Теперь, мы можем рассмотреть треугольник АDE. Мы знаем, что угол АCD равен углу АВС. Также, мы знаем, что угол АВС равен углу СЕВ (так как прямая СЕ является высотой треугольника АВС).
Таким образом, мы можем сделать вывод, что угол АCD равен углу СЕВ. Это означает, что прямая AD не параллельна плоскости α и пересекает ее в некоторой точке E.
Теперь, мы можем найти отрезок BE. Для этого, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ВЕС:
BE² = BC² + CE²
Мы знаем, что отрезок ВС равен 3х, а отрезок CD равен 12 см. Таким образом, отрезок BD равен 3х — 12.
Также, мы знаем, что угол СЕВ прямой. Это означает, что треугольник ВЕС является прямоугольным.
Таким образом, мы можем записать:
BE² = BC² + CE²
BE² = (3х — 12)² + (4х)²
BE² = 9х² — 72х + 144 + 16х²
BE² = 25х² — 72х + 144
Теперь, мы можем найти значение отрезка BE, взяв квадратный корень из обеих сторон:
BE = √(25х² — 72х + 144)
Таким образом, мы доказали, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и нашли значение отрезка BE.
