Вопрос школьника
Точка С сферы удалена от концов ее диаметра АВ на 5 см и 12 см. Вычислите длину линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через точку С и перпендикулярной прямой АВ.
Ответ от учителя
Пусть радиус сферы равен R, а расстояния от точки С до концов диаметра АВ равны a = 5 см и b = 12 см соответственно. Тогда можно составить систему уравнений:
(a + b)^2 + h^2 = 4R^2, где h — расстояние от точки С до середины диаметра АВ
h^2 + x^2 = R^2, где x — искомая длина линии пересечения сферы и плоскости
Из первого уравнения можно выразить h:
h^2 = 4R^2 — (a + b)^2
Подставляем это выражение во второе уравнение:
x^2 = R^2 — h^2 = R^2 — (4R^2 — (a + b)^2) = (a + b)^2 — 3R^2
Таким образом, длина линии пересечения сферы и плоскости равна:
x = √((a + b)^2 — 3R^2)
Осталось найти радиус R. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного радиусом, расстоянием между концами диаметра и расстоянием от точки С до середины диаметра:
R^2 = (a + b/2)^2 + h^2
Подставляем выражение для h:
R^2 = (a + b/2)^2 + 4R^2 — (a + b)^2
Упрощаем:
3R^2 = (a + b)^2 — (a + b/2)^2 = 3ab/2
R = √(ab/2)
Теперь можем вычислить длину линии пересечения сферы и плоскости:
x = √((a + b)^2 — 3R^2) = √(169 — 3ab) ≈ 10.2 см (с точностью до сотых)
