Вопрос школьника
Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение xmax точки равно 10 см, наибольшая скорость vmax=20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное ускорение amax точки
Ответ от учителя
Гармонические колебания характеризуются уравнением x = A*cos(ωt + φ), где x — смещение точки, A — амплитуда колебаний, ω — угловая частота, t — время, φ — начальная фаза колебаний.
Из условия задачи известно, что xmax = 10 см и vmax = 20 см/с. Максимальное смещение точки достигается в момент времени, когда скорость точки равна нулю, т.е. в точке разворота. Поэтому можно записать:
xmax = A
vmax = A*ω*sin(ωt + φ) = A*ω*cos(ωt + φ + π/2)
При максимальной скорости точка проходит полный цикл колебаний за период T = 2π/ω. Значит, в момент максимальной скорости:
ωt + φ + π/2 = π
Отсюда находим начальную фазу колебаний:
φ = π/2 — ωt
Подставляем найденную начальную фазу в выражение для максимальной скорости:
vmax = A*ω*cos(π/2) = A*ω
Отсюда находим угловую частоту:
ω = vmax/A = 20 см/с / 10 см = 2 рад/с
Максимальное ускорение точки можно найти, взяв вторую производную от уравнения гармонических колебаний:
a = -A*ω^2*sin(ωt + φ)
Максимальное ускорение достигается в точке разворота, когда смещение точки равно нулю. Поэтому:
amax = A*ω^2 = (10 см)*(2 рад/с)^2 = 40 см/с^2
Таким образом, угловая частота колебаний равна 2 рад/с, а максимальное ускорение точки равно 40 см/с^2.
