Вопрос школьника
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х = А1 sin ω1 t и y = A2 cosω2 t , где А1= 8 см, A2 = 4 см, ω1 = ω2 = 4 с – 1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.
Ответ от учителя
Для нахождения уравнения траектории точки, участвующей в двух перпендикулярных колебаниях, необходимо использовать формулы сложения тригонометрических функций:
x = A1 sin ω1 t
y = A2 cos ω2 t
Выразим sin и cos через tg:
x = A1 * tg(α)
y = A2 * ctg(α)
где α = arctg(ω1/ω2)
Тогда уравнение траектории будет иметь вид:
y = A2 * ctg(arctg(ω1/ω2)) * x / A1
y = A2 / A1 * x
Таким образом, траектория точки будет прямой линией, проходящей через начало координат. Направление движения точки будет зависеть от знака скорости, которая определяется производной уравнения траектории:
dy/dx = A2 / A1
Так как A2 < A1, то скорость по y будет меньше, чем по x. Следовательно, точка будет двигаться в направлении, близком к оси x.
