Вопрос школьника
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1 cos ωt и y=A2 sin ωt, где A1=2 см, A2=1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения
Ответ от учителя
Для нахождения уравнения траектории точки, необходимо выразить координаты точки через время t и подставить их в уравнение x^2 + y^2 = r^2, где r — радиус траектории.
Из уравнений x=A1 cos ωt и y=A2 sin ωt следует, что координаты точки в момент времени t равны x = A1 cos ωt и y = A2 sin ωt. Подставляя их в уравнение траектории, получаем:
(A1 cos ωt)^2 + (A2 sin ωt)^2 = r^2
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
A1^2 cos^2 ωt + A2^2 sin^2 ωt = r^2
Так как A1 = 2 см, A2 = 1 см, то
4 cos^2 ωt + sin^2 ωt = r^2
Выражая sin^2 ωt через cos^2 ωt с помощью тригонометрического тождества sin^2 ωt + cos^2 ωt = 1, получаем:
4 cos^2 ωt + (1 — cos^2 ωt) = r^2
3 cos^2 ωt + 1 = r^2
Таким образом, уравнение траектории точки имеет вид:
x^2/4 + y^2 = 1
Это уравнение эллипса с полуосями a = 2 см и b = 1 см. Траектория точки представляет собой эллипс с центром в начале координат.
Направление движения точки можно определить по знакам производных координат x и y. Если производные положительны, то точка движется по эллипсу в положительном направлении осей координат, если отрицательны — в отрицательном направлении. В данном случае производные равны:
dx/dt = -A1ω sin ωt, dy/dt = A2ω cos ωt
При t = 0 производные равны dx/dt = 0, dy/dt = A2ω > 0, то есть точка движется в положительном направлении оси y.
