Вопрос школьника
Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см?
Ответ от учителя
Пусть точка находится на расстоянии h от плоскости треугольника. Так как точка удалена от каждой вершины на расстояние 10 см, то она лежит на пересечении трех сфер радиуса 10 см с центрами в вершинах треугольника. Обозначим эти центры через A, B и C, а точку пересечения сфер через O.
Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см, то она делит гипотенузу на две равные части. Обозначим середину гипотенузы через M. Тогда OM = 2,5 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. Так как точка O лежит на пересечении сфер, то она находится на пересечении трех сфер, проходящих через точки A, O и M; M, O и C; A, O и C. Радиус каждой из этих сфер равен 10 см, а расстояние между центрами сфер AMO и CMO равно AC/2 = 15 см.
Применим теорему Пифагора к треугольнику AMO:
AM^2 + OM^2 = AO^2
AC/2^2 + 2,5^2 = (h + 10)^2
AC^2/4 + 6,25 = h^2 + 20h + 100
AC^2/4 — 20h = h^2 + 73,75
AC^2 — 80h = 4h^2 + 295
Заметим, что AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2AB^2 = 2BC^2, так как треугольник ABC прямоугольный. Обозначим AB = BC = a. Тогда AC = a*sqrt(2).
Подставим это выражение в уравнение:
2a^2 — 80h = 4h^2 + 295
4h^2 + 80h — 2a^2 + 295 = 0
2h^2 + 40h — a^2 + 147,5 = 0
Решим это квадратное уравнение относительно h:
h = (-40 ± sqrt(40^2 — 4*2*(-a^2 + 147,5)))/(2*2) = (-20 ± sqrt(a^2 — 67,75))/2
Так как h должно быть положительным, то выбираем знак плюс. Подставляем значение h в уравнение:
AC^2 — 80h = 4h^2 + 295
2a^2 — 40sqrt(a^2 — 67,75) = 4((a^2 — 67,75)/4) + 295
2a^2 — 40sqrt(a^2 — 67,75) = a^2 + 222
a^2 = 40sqrt(a^2 — 67,75) + 222
a^4 — 80a^2 + 222^2 — 40^2(a^2 — 67,75) = 0
a^4 — 80a^2 + 222^2 — 40^2a^2 + 40^2*67,75 = 0
a^4 — 3200a^2 + 222^2 + 40^2*67,75 = 0
Решаем это квадратное уравнение относительно a^2:
a^2 = (3200 ± sqrt(3200^2 — 4*222^2 — 4*40^2*67,75))/(2*2) = 1600 ± 20sqrt(1600 — 67,75) = 1600 ± 395
Так как a должно быть положительным, то выбираем знак плюс. Получаем a = 199,8 см.
Теперь можем найти h:
h = (-20 + sqrt(a^2 — 67,75))/2 = (-20 + sqrt(199,8^2 — 67,75))/2 ≈ 194,5 см.
Ответ: точка находится на расстоянии около 194,5 см от плоскости треугольника.
