Вопрос школьника
Точка В лежит между точками А и С, а точка А — между точками D и В. Найдите длину отрезка CD, если AD = 45 см, АВ на 3 см больше AD а ВС на 17 см больше АВ.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно нарисовать схему и использовать свойства треугольников.
Пусть точка D находится слева от точки С, а точка А и В находятся между ними, как показано на рисунке:
«`
D—-A—-B—-C
«`
Из условия задачи мы знаем, что AD = 45 см и AB = AD + 3 см = 48 см. Также мы знаем, что BC = AB + 17 см = 65 см.
Так как точка В лежит между точками А и С, то мы можем разбить отрезок BC на две части: BV и VC. Пусть длина отрезка BV равна х см, тогда длина отрезка VC будет равна 65 — х см.
Так как точка А лежит между точками D и В, то мы можем разбить отрезок AB на две части: AD и DV. Пусть длина отрезка DV равна у см, тогда длина отрезка AD будет равна 48 — у см.
Теперь мы можем составить два треугольника: ABD и BVC. Оба треугольника имеют общую сторону AB, поэтому мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
Применяя это свойство к треугольнику ABD, мы получаем:
AD + BD > AB
45 + BD > 48 — у
BD > 3 — у
Применяя это свойство к треугольнику BVC, мы получаем:
BV + VC > BC
х + 65 — х > 65
VC > 0
Так как длина отрезка VC должна быть положительной, мы можем записать:
65 — х > 0
х < 65
Теперь мы можем использовать полученные неравенства, чтобы найти ограничения для значений х и у:
3 - у < BD < AB = 48
0 < VC < 65 - х
Так как точка В лежит между точками А и С, то мы можем записать:
AD + DV + VC = CD
45 + у + VC = CD
Подставляя значения для у и VC, полученные из неравенств, мы получаем:
45 + (3 - BD) + (65 - х) = CD
113 - BD - х = CD
Таким образом, мы получили выражение для длины отрезка CD через значения BD и х:
CD = 113 - BD - х
Нам нужно найти максимальное значение длины отрезка CD. Для этого мы должны найти минимальные значения BD и х, которые удовлетворяют неравенствам.
Минимальное значение BD равно 3 - у, а минимальное значение х равно 0. Подставляя эти значения в выражение для длины отрезка CD, мы получаем:
CD = 113 - (3 - у) - 0
CD = 110 + у
Таким образом, максимальное значение длины отрезка CD равно 110 + у. Чтобы найти значение у, мы можем использовать неравенство:
3 - у < BD < 48
Минимальное значение BD равно 3 - у, поэтому мы можем записать:
3 - у < 3 - у
3 - у < 48
Отсюда мы получаем:
-45 < у < 0
Таким образом, максимальное значение длины отрезка CD достигается при у = 0, то есть когда BD = 3. Подставляя это значение в выражение для длины отрезка CD, мы получаем:
CD = 110 + у = 110
Ответ: длина отрезка CD равна 110 см.
