Вопрос школьника
Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых верно равенство AM2 + 2BM2 + ЗСМ2 = 4.
Ответ от учителя
Для начала, построим отрезок АС длины 2 и его середину В. Затем, обозначим точку М произвольной точкой на плоскости и построим отрезки АМ, ВМ и СМ. Таким образом, получим треугольник АВС и точку М в его плоскости.
Далее, воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длин отрезков АМ, ВМ и СМ:
AM^2 = AB^2 + BM^2
BM^2 = BV^2 + VM^2
CM^2 = CV^2 + VM^2
Здесь AB = AC/2 = 1, а BV = CV = AC/2 = 1, так как В — середина отрезка АС.
Подставим найденные выражения в уравнение AM^2 + 2BM^2 + СМ^2 = 4:
AB^2 + BM^2 + 2BM^2 + CV^2 + VM^2 + VM^2 = 4
Упростим:
2BM^2 + 2VM^2 = 2
BM^2 + VM^2 = 1
Таким образом, множество всех точек М, для каждой из которых верно равенство AM^2 + 2BM^2 + СМ^2 = 4, состоит из всех точек, лежащих на окружности с центром в точке В и радиусом 1. Эта окружность называется окружностью Эйлера треугольника АВС.
