Вопрос школьника
Точка В – середина отрезка АС, причем AC = 6 . Проведены три окружности радиуса 5 с центрами А, В и С. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных.
Ответ от учителя
Четвертая окружность должна касаться всех трех данных окружностей, а значит, ее центр должен лежать на пересечении биссектрис треугольника АВС. Так как точка В является серединой отрезка АС, то биссектриса угла В равна прямой ВМ, где М – середина отрезка АС. Таким образом, центр четвертой окружности должен лежать на отрезке ВМ.
Рассмотрим треугольник ВМС. Он является прямоугольным, так как ВМ – медиана, а значит, делит сторону АС пополам. Значит, ВМ = 3. Также, ВС = 6/2 = 3.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центрами окружностей А, В и четвертой окружности. Пусть радиус четвертой окружности равен r. Тогда, по теореме Пифагора:
(5 + r)^2 = (5 + 3)^2 + r^2
25 + 10r + r^2 = 64 + r^2
10r = 39
r = 3.9
Таким образом, радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных, равен 3.9.
