Вопрос школьника
Точки А, Б, С, D принадлежат одной прямой, причём отрезки АВ иCD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник ABE равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD.
Ответ от учителя
Пусть точка М — середина отрезка АВ и отрезка CD. Тогда, по определению равнобедренного треугольника, АМ = ВМ и АЕ = ВЕ. Также, по условию, точки А, Б, С, D лежат на одной прямой, что означает, что отрезки АМ и СМ, а также отрезки МD и МВ, пересекаются в точке М.
Рассмотрим треугольник CDM. Так как точка М является серединой отрезка CD, то МD = МС. Также, по теореме о трёх равных углах, угол CMD равен углу AMB, так как эти углы соответственные при параллельных прямых AB и CD. Но так как треугольник ABE равнобедренный с основанием АВ, то угол AMB также равен углу AEB. Следовательно, угол CMD равен углу AEB.
Теперь рассмотрим треугольник CDE. Так как точка М является серединой отрезка CD, то МD = МС. Также, по доказанному выше, угол CMD равен углу AEB. Но так как АЕ = ВЕ, то угол AEB равен углу CED, так как это вертикальные углы. Следовательно, угол CMD равен углу CED.
Таким образом, мы доказали, что в треугольнике CDE угол CMD равен углу CED, а отрезок МD равен отрезку МС. Это означает, что треугольник CDE равнобедренный с основанием CD.
