Вопрос школьника
Точки А и Б — концы диаметра сферы с центром в точке О, СО — радиус сферы, перпендикулярный плоскости, в которой лежит большая окружность. Вычислите площадь сферы, если площадь треугольника ABC равна 4 см2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти радиус сферы, а затем по формуле вычислить ее площадь.
Рассмотрим треугольник ABC. Он является сечением сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Поэтому треугольник ABC является равнобедренным, а высота, опущенная из вершины C на сторону AB, проходит через центр сферы O.
Обозначим через h высоту треугольника ABC, а через r радиус сферы. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике OAC:
r^2 = h^2 + (AC/2)^2
А по условию задачи площадь треугольника ABC равна 4 см2:
S_ABC = (AC * h)/2 = 4
Отсюда выражаем высоту h:
h = (8/AC)
Подставляем это выражение в формулу для радиуса r:
r^2 = (8/AC)^2 + (AC/2)^2
Упрощаем:
r^2 = 64/AC^2 + AC^2/4
Находим минимум правой части этого выражения, взяв производную по AC и приравняв ее к нулю:
d/dr (64/AC^2 + AC^2/4) = -128/AC^3 + AC/2 = 0
Отсюда находим значение AC, при котором радиус сферы минимален:
AC = (256/3)^(1/4)
Подставляем это значение в формулу для радиуса r:
r^2 = 64/(256/3)^(1/2) + (256/3)^(1/2)/4
r^2 = 16(3/2 + (1/3)^(1/2))
r = 2(3/2 + (1/3)^(1/2))^(1/2)
Теперь можем вычислить площадь сферы по формуле:
S = 4πr^2
S = 4π * 2(3/2 + (1/3)^(1/2))
S = 8π(3/2 + (1/3)^(1/2))
Ответ: площадь сферы равна 8π(3/2 + (1/3)^(1/2)) квадратных единиц.
