Вопрос школьника
Точки А и Б лежат на большой окружности сферы симметрично относительно ее центра О, а точка С расположена на сфере так, что отрезок СО перпендикулярен плоскости, в которой лежит большая окружность. Вычислите площадь сферы, если площадь треугольника АСВ равна 16 см2.
Ответ от учителя
Пусть радиус сферы равен $R$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на большой окружности сферы симметрично относительно ее центра $O$, то отрезок $AB$ является диаметром этой окружности. Значит, угол $AOB$ равен $180^circ$. Также, так как отрезок $СО$ перпендикулярен плоскости, в которой лежит большая окружность, то точка $С$ лежит на малой окружности сферы, которая является пересечением сферы с плоскостью, проходящей через большую окружность и перпендикулярной плоскости, содержащей большую окружность. Значит, угол $AOC$ также равен $90^circ$.
Треугольник $АСВ$ является прямоугольным, поэтому его площадь равна $frac{1}{2}ABcdot AC$. Так как площадь этого треугольника равна $16$ см$^2$, то $frac{1}{2}ABcdot AC=16$. Также, так как угол $AOB$ равен $180^circ$, то $AB=2R$. Значит, $frac{1}{2}cdot 2Rcdot AC=16$, откуда $AC=frac{32}{R}$.
Так как угол $AOC$ равен $90^circ$, то точки $A$, $C$ и $O$ лежат на одной плоскости, проходящей через центр сферы. Значит, угол $AOC$ является углом сегмента сферы, ограниченного большой окружностью и малой окружностью, на которой лежит точка $C$. Площадь этого сегмента равна $frac{1}{6}pi R^2(3sinangle AOC+2sinangle AOB)$. Так как угол $AOC$ равен $90^circ$, то $sinangle AOC=1$. Также, так как угол $AOB$ равен $180^circ$, то $sinangle AOB=0$. Значит, площадь сегмента равна $frac{1}{6}pi R^2(3+0)=frac{1}{2}pi R^2$.
Таким образом, площадь сферы равна сумме площади сегмента и площади малой окружности, на которой лежит точка $C$. Площадь малой окружности равна $pi(frac{32}{2R})^2=frac{256pi}{R^2}$. Значит, площадь сферы равна $frac{1}{2}pi R^2+frac{256pi}{R^2}$. Чтобы найти радиус сферы, нужно решить уравнение $frac{1}{2}cdot 2Rcdot frac{32}{R}=16$, откуда $R=4$. Значит, площадь сферы равна $frac{1}{2}picdot 4^2+frac{256pi}{4^2}=8pi+16pi=24pi$ см$^2$.
