Вопрос школьника
Точки A и B лежат на касательной к окружности с центром O по разные стороны от точки касания, причем OA = OB = 8 см и ∠AOB = 120°. Найдите радиус окружности.
Ответ от учителя
Рисуем схему:
Так как точки A и B лежат на касательной к окружности с центром O, то отрезки OA и OB являются радиусами окружности. Также известно, что OA = OB = 8 см и ∠AOB = 120°.
Рисуем высоту из центра O на сторону AB:
Так как высота, проведенная из центра окружности, является одновременно медианой и биссектрисой треугольника, то она делит угол ∠AOB пополам и перпендикулярна стороне AB. Значит, получаем два равнобедренных треугольника OAB и OBC.
Так как треугольник OAB равнобедренный, то угол ∠OAB равен углу ∠OBA, то есть каждый из них равен 30° (половина угла ∠AOB). Тогда угол ∠OBC равен 60° (угол ∠AOB минус два угла ∠OAB).
Рисуем высоту из точки B на сторону OC:
Треугольник OBC является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу окружности. Значит, угол ∠OBC равен 60°, а угол ∠BOC равен 120° (сумма углов треугольника OBC).
Таким образом, мы получили, что угол ∠BOC равен 120°, а угол ∠BOC равен 60°. Значит, треугольник BOC является равносторонним, и радиус окружности равен BC.
Применяем теорему косинусов в треугольнике OBC:
BC² = OB² + OC² — 2OB·OC·cos(∠BOC)
Так как треугольник OBC равносторонний, то OB = OC = 8 см. Подставляем известные значения:
BC² = 8² + 8² — 2·8·8·cos(120°) ≈ 92,8
BC ≈ √92,8 ≈ 9,64
Ответ: радиус окружности ≈ 9,64 см.
