Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Точки A и B лежат по разные стороны от прямой CD, причем ACD = BCD и AC = BC. Докажите, что BD < AC + CD.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ACD и треугольник BCD. У них есть общая сторона CD и равные углы ACD и BCD, так как они являются вертикальными углами. Также, по условию, AC = BC. Значит, треугольники ACD и BCD равны по двум сторонам и углу между ними, то есть они равны.
Следовательно, AD = BD и треугольник ABD является равнобедренным. Пусть угол ABD равен α. Тогда угол ACD также равен α, так как они дополнительны друг другу. Также, угол BCD равен α, так как он вертикальный угол к углу ACD.
Рассмотрим треугольник BDC. У него есть два угла, равные углу BCD и углу CBD. Значит, третий угол BDC также равен α. Таким образом, треугольник BDC является равнобедренным.
Пусть BD = x, AC = y и CD = z. Тогда, по теореме косинусов, в треугольнике ACD:
AC² = AD² + CD² — 2AD·CD·cos(α)
Аналогично, в треугольнике BCD:
BC² = BD² + CD² — 2BD·CD·cos(α)
Так как AD = BD и AC = BC, то можно записать:
y² = x² + z² — 2xy·cos(α)
y² = x² + z² — 2xz·cos(α)
Сложим эти уравнения:
2y² = 2x² + 2z² — 2xy·cos(α) — 2xz·cos(α)
y² + x² + z² = 2xy·cos(α) + 2xz·cos(α) + 2y²
y² + x² + z² = 2y(x·cos(α) + z·cos(α)) + 2y²
y² + x² + z² — 2y² = 2y(x·cos(α) + z·cos(α))
x² + z² — y² = 2y(x·cos(α) + z·cos(α))
x² + z² — y² = 2yz·cos(α)
x² + z² = y² + 2yz·cos(α)
Так как треугольник BDC равнобедренный, то BD = CD. Значит, можно записать:
2x² = y² + z²
Подставим это выражение в предыдущее:
y² + z² = y² + 2yz·cos(α)
z² = 2yz·cos(α)
z = 2y·cos(α)
Теперь можно записать:
BD = CD = x
AC + CD = y + 2y·cos(α)
BD < AC + CD x < y + 2y·cos(α) x < y(1 + 2·cos(α)) Но 1 + 2·cos(α) > 0, так как угол α лежит в интервале от 0 до 180 градусов. Значит, можно записать:
x < y(1 + 2·cos(α)) < y(1 + 2) = 3y Таким образом, доказано, что BD < AC + CD.
