Вопрос школьника
Точки А, В и С лежат на одной прямой, а длины отрезков ВС и АС равны 24 см и 18 см соответственно. Вычислите длину отрезка АВ, если расстояние между серединами отрезков ВС и АС равно 3 см.
Ответ от учителя
Пусть точка D — середина отрезка ВС, а точка E — середина отрезка АС. Тогда, по определению середины отрезка, BD = DC = 12 см и AE = EC = 9 см.
Так как точки А, В и С лежат на одной прямой, то отрезок АВ можно представить как сумму отрезков ВD и DA: АВ = ВD + DA.
Из треугольника ВDC по теореме Пифагора получаем: BD² + DC² = ВС². Подставляем известные значения: 12² + 12² = 288, откуда ВС = √288 = 12√2 см.
Аналогично, из треугольника АEC получаем: AE² + EC² = АС². Подставляем известные значения: 9² + 9² = 162, откуда АС = √162 = 9√2 см.
Так как расстояние между серединами отрезков ВС и АС равно 3 см, то DE = 3 см.
Рассмотрим треугольник ADE. По теореме Пифагора получаем: AD² + DE² = AE². Подставляем известные значения: AD² + 3² = 9², откуда AD = √72 = 6√2 см.
Теперь можем вычислить длину отрезка АВ: АВ = ВD + DA = ВD + (AE — AD) = ВD + AE — AD = 12√2 + 9√2 — 6√2 = 15√2 см.
Ответ: длина отрезка АВ равна 15√2 см.
