Вопрос школьника
Точки А, В и С не лежат на одной прямой; прямые р и q — серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Докажите, что прямые р и q пересекаются.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что прямые р и q пересекаются, нужно показать, что они не параллельны. Для этого рассмотрим треугольник ABC, в котором точки А, В и С не лежат на одной прямой. Так как прямые р и q являются серединными перпендикулярами к отрезкам АВ и ВС соответственно, то они проходят через середины этих отрезков. Обозначим середины отрезков АВ и ВС как М и N соответственно.
Так как точки А, В и С не лежат на одной прямой, то треугольник ABC не является прямоугольным. Однако, мы можем построить вспомогательный треугольник AMN, который будет прямоугольным, так как М и N являются серединами сторон АВ и ВС соответственно, а прямая р является перпендикуляром к отрезку АВ, проходящим через точку М.
Таким образом, в треугольнике AMN угол МАN является прямым, а угол МАР является острым, так как прямая р перпендикулярна к отрезку АВ. Значит, угол РАN является тупым. Аналогично, можно показать, что угол QВN является тупым.
Таким образом, мы доказали, что углы РАN и QВN являются тупыми, что означает, что прямые р и q не параллельны. Следовательно, они пересекаются в некоторой точке.
