Вопрос школьника
Точки А, В и С расположены на поверхности шара с центром в точке О так, что радиусы ОА, ОВ и ОС перпендикулярны друг другу. Вычислите объем шара, если объем пирамиды ОАВС равен 36 см3 (рис. 102, а).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать формулу объема пирамиды и формулу объема шара.
Объем пирамиды ОАВС равен 36 см3, поэтому мы можем записать:
Vп = 1/3 * Sосн * h,
где Sосн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды.
Так как ОА, ОВ и ОС перпендикулярны друг другу, то площадь основания пирамиды ОАВС равна площади круга с радиусом ОА:
Sосн = π * ОА^2.
Высота пирамиды равна расстоянию от точки О до плоскости АВС. Так как ОА, ОВ и ОС перпендикулярны друг другу, то это расстояние равно радиусу шара:
h = ОО.
Теперь мы можем записать:
36 = 1/3 * π * ОА^2 * ОО.
Так как ОА, ОВ и ОС равны радиусам шара, то ОА = ОВ = ОС = r.
Также мы знаем, что ОА, ОВ и ОС перпендикулярны друг другу, поэтому по теореме Пифагора:
r^2 + r^2 + r^2 = (2r)^2,
3r^2 = 4r^2,
r^2 = 3/4 * ОО^2.
Теперь мы можем подставить это выражение для ОА в формулу для объема пирамиды:
36 = 1/3 * π * (3/4 * ОО^2) * ОО,
36 = 1/4 * π * ОО^3,
ОО^3 = 144/π,
ОО = (144/π)^(1/3).
Так как ОО равно радиусу шара, то мы можем вычислить его объем, используя формулу объема шара:
Vш = 4/3 * π * ОО^3,
Vш = 4/3 * π * (144/π)^(1/3),
Vш = 192/π^(2/3) см^3.
Таким образом, объем шара равен 192/π^(2/3) см^3.
