Вопрос школьника
Точки A1 и B1 симметричны точкам A и B относительно середин сторон BC и CA треугольника ABC. Докажите, что точки A1 и B1 симметричны относительно точки C.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нужно воспользоваться свойствами симметрии и свойствами серединных перпендикуляров.
Пусть M и N — середины сторон BC и CA соответственно. Тогда по определению симметрии точки A1 и B1 лежат на отрезках MC и NC соответственно, причем MC = MA1 и NC = NB1.
Также из свойств серединных перпендикуляров следует, что MC и NC перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника ABC, то есть MC перпендикулярен AB, а NC перпендикулярен BC.
Таким образом, мы получили, что точки A1 и B1 лежат на пересечении перпендикуляров к сторонам AB и BC, проходящих через точки C и M (для A1), и через точки C и N (для B1).
Но так как точки M и N являются серединами соответствующих сторон треугольника ABC, то отрезки MC и NC равны между собой и проходят через точку C. Следовательно, точки A1 и B1 лежат на одной прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной стороне AC.
Таким образом, мы доказали, что точки A1 и B1 симметричны относительно точки C.
