Вопрос школьника
Точки D и D₁ лежат соответственно на сторонах ВС и B₁С₁ треугольников ABC и А₁В₁С₁ так, что DC = 3BD и D₁C₁ = 3B₁D₁ Кроме того, АС = А₁С₁, АВ = А₁В₁ и угол A = углу A₁. Докажите, что AD =A₁D₁.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. Из условия задачи следует, что они равнобедренные, так как AB = A₁B₁ и углы ABD и A₁B₁D₁ равны (угол A = углу A₁). Поэтому AD = BD и A₁D₁ = B₁D₁.
Также из условия задачи следует, что DC = 3BD и D₁C₁ = 3B₁D₁. Подставим выражения для BD и B₁D₁ в эти равенства и получим:
DC = 3AD и D₁C₁ = 3A₁D₁
Таким образом, мы получили, что отрезки AD и A₁D₁ равны третьим сторонам треугольников, соответственно, их можно сравнить по длине. Из равенства углов и равенства двух сторон следует, что треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны, а значит, их третьи стороны AD и A₁D₁ равны. Таким образом, мы доказали, что AD = A₁D₁.
