Вопрос школьника
Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника ABC. Найдите: a) SADE, если АВ = 5 см, АС = 6 см, AD = 3cм, АЕ = 2 см, SABC=10cм2; б) AD, если АВ = 8см, АС = 3см, АЕ = 2 см, SABC = 10 см2, SADE = 2 см2.
Ответ от учителя
a) Для нахождения площади треугольника SADE нужно вычислить высоту, опущенную на сторону АЕ. Обозначим эту высоту через h. Тогда:
SABC = (AB*AC*sin(∠BAC))/2 = (5*6*sin(∠BAC))/2 = 15*sin(∠BAC)
Высота, опущенная на сторону АС, равна:
h1 = (2*SABC)/AC = (2*10)/6 = 10/3 см
Высота, опущенная на сторону АВ, равна:
h2 = (2*SABC)/AB = (2*10)/5 = 4 см
Теперь можно найти высоту, опущенную на сторону АЕ:
h = h1 — h2 = (10/3) — 4 = -2/3 см
Значит, треугольник SADE не существует, так как его высота отрицательна.
б) Площадь треугольника SADE уже известна: SADE = 2 см2. Также известны длины сторон АВ, АС и АЕ. Обозначим длину стороны AD через x. Тогда длина стороны AE равна 2 — x.
Площадь треугольника SAE можно вычислить по формуле Герона:
SAE = sqrt(p*(p-2)*(p-x)*(p-(2-x))), где p = (2+x)/2
SAE = sqrt((2+x)*(2-x)*x)/2 = sqrt(4-x^2)*x/2
Теперь можно выразить площадь треугольника SDE через x:
SDE = SABC — SAE — SAEB = 10 — SAE — (2-x)*h, где h — высота, опущенная на сторону АЕ
h = (2*SABC)/AE = (2*10)/2 = 10 см
SDE = 10 — sqrt(4-x^2)*x/2 — (2-x)*10 = 20 — 5x — sqrt(4-x^2)*x/2
Из условия SDE = 2 см2 получаем уравнение:
20 — 5x — sqrt(4-x^2)*x/2 = 2
sqrt(4-x^2)*x/2 = 18 — 5x
Возводим обе части уравнения в квадрат:
2*(4-x^2)*x^2 = (18-5x)^2
8x^4 — 40x^3 + 25x^2 + 324x — 324 = 0
Решаем это уравнение численно и получаем два корня: x ≈ 0.8 и x ≈ 4.1. Так как сторона AD не может быть больше стороны АВ, то ответ: AD ≈ 0.8 см.
