Вопрос школьника
Точки F и Т лежат на стороне ВС треугольника ABC так, что BF = ТС и AF = AT. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства равнобедренности треугольника ABC нужно показать, что его две боковые стороны равны между собой.
Обозначим точку пересечения прямых AF и BC как точку P. Также обозначим углы треугольника ABC как угол A, угол B и угол C.
Так как AF = AT, то угол AFT равен углу ATF. Также, так как BF = TC, то угол BFC равен углу CFB.
Рассмотрим треугольники AFP и BFP. Они имеют общую сторону FP и равные углы AFB и BFA (так как угол AFT равен углу ATF). Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу, а значит, их третьи стороны равны: AF = BF.
Аналогично, рассмотрим треугольники CTP и ATP. Они имеют общую сторону TP и равные углы ATC и CAT (так как угол BFC равен углу CFB). Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу, а значит, их третьи стороны равны: CT = AT.
Таким образом, мы доказали, что AF = BF и CT = AT, то есть две боковые стороны треугольника ABC равны между собой. Значит, треугольник ABC равнобедренный.
