Вопрос школьника
Точки К и F — соответственно середины сторон ВС и CD ромба ABCD, в котором угол A = 60°, а диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что диагонали четырехугольника KFDO взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
Для доказательства перпендикулярности диагоналей четырехугольника KFDO нужно показать, что их противоположные стороны параллельны их диагоналям.
Рассмотрим треугольник AOB, где O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD, а AB — его сторона. Так как угол A ромба ABCD равен 60°, то угол AOB равен 120°. Также, так как стороны ромба равны, то сторона AB равна сторонам BC, CD и DA.
Таким образом, треугольник AOB является равносторонним, а значит, его высота, проведенная из вершины O, делит его на два равнобедренных треугольника AOC и BOD.
Так как точки K и F являются серединами сторон ВС и CD соответственно, то они делят эти стороны пополам. Таким образом, отрезки KC и FD равны между собой и равны половине стороны AB.
Также, так как точки K и F являются серединами сторон, то отрезки KO и FO являются высотами треугольников AOC и BOD соответственно.
Таким образом, мы получили, что отрезки KC и FD являются высотами равнобедренных треугольников AOC и BOD, а отрезки KO и FO являются их основаниями.
Так как высоты равнобедренных треугольников пересекаются в точке O, а их основания равны, то отрезки KC и FD пересекаются в точке O и делятся им пополам. Таким образом, диагонали четырехугольника KFDO пересекаются в его центре, а значит, они взаимно перпендикулярны.
Таким образом, мы доказали, что диагонали четырехугольника KFDO взаимно перпендикулярны.
