Вопрос школьника
Точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехугольники ABLN и ADMK равновелики.
Ответ от учителя
Чтобы доказать, что четырехугольники ABLN и ADMK равновелики, нужно показать, что они имеют одинаковую площадь.
Площадь четырехугольника можно вычислить, разбив его на два треугольника и сложив их площади. Рассмотрим четырехугольник ABLN.
Пусть AB = CD = a и BC = DA = b. Тогда KL = LM = MN = NK = (a + b) / 2, так как K, L, M и N — середины сторон параллелограмма.
Рассмотрим треугольник ABL. Его высота равна KL, а основание равно AB = a. Таким образом, площадь треугольника ABL равна (1/2) * a * KL.
Аналогично, рассмотрим треугольник BLN. Его высота также равна KL, а основание равно b. Таким образом, площадь треугольника BLN равна (1/2) * b * KL.
Суммируя площади треугольников ABL и BLN, получаем:
(1/2) * a * KL + (1/2) * b * KL = (1/2) * (a + b) * KL
Таким образом, площадь четырехугольника ABLN равна (1/2) * (a + b) * KL.
Аналогично, можно показать, что площадь четырехугольника ADMK также равна (1/2) * (a + b) * KL.
Таким образом, мы доказали, что четырехугольники ABLN и ADMK имеют одинаковую площадь, что и означает их равновеликость.
