Вопрос школьника
Точки М и К — середины сторон ВС и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что треугольник BCD и четырёхугольник АВМК равновелики.
Ответ от учителя
Для доказательства равновеликости треугольника BCD и четырёхугольника АВМК нужно показать, что они имеют равные площади.
Площадь треугольника BCD можно вычислить по формуле: S(BCD) = (1/2) * BC * h, где h — высота треугольника, опущенная на сторону BC.
Площадь четырёхугольника АВМК можно разбить на две треугольные части: треугольник АВМ и треугольник КМС. Площадь каждого из них можно вычислить по формуле: S(ABM) = (1/2) * AB * h1 и S(KMC) = (1/2) * KC * h2, где h1 и h2 — высоты треугольников, опущенные на стороны AB и KC соответственно.
Так как точки М и К являются серединами сторон ВС и AD, то BC = AD и AB = DC. Также можно заметить, что треугольники АВМ и КМС равны по двум сторонам и углу между ними (AB = KC, AM = CM и угол АВМ = угол КМС, так как они соответственные углы при параллельных прямых AB и KC).
Таким образом, высоты h1 и h2 равны, так как они опущены на равные стороны треугольников АВМ и КМС. А значит, площади треугольников АВМ и КМС равны: S(ABM) = S(KMC).
Таким образом, площадь четырёхугольника АВМК равна сумме площадей треугольников АВМ и КМС: S(ABMK) = S(ABM) + S(KMC) = 2 * S(ABM).
Также можно заметить, что высота треугольника BCD равна высоте треугольника АВМ, так как они параллельны и имеют равные основания BC и AM. А значит, площади треугольников BCD и АВМ равны: S(BCD) = S(ABM).
Таким образом, мы доказали, что площади треугольника BCD и четырёхугольника АВМК равны, а значит, они равновелики.
