Вопрос школьника
Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, отрезки AN и DM пересекаются в точке P, а отрезки BN и CM — в точке Q. Докажите, что площадь четырехугольника MQNP равна сумме площадей треугольников APD и BQC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники APD и BQC. Они имеют общую высоту, которая проходит через точку P, а основаниями являются отрезки AD и BC соответственно. Таким образом, площадь треугольника APD равна половине произведения высоты на основание AD, а площадь треугольника BQC равна половине произведения высоты на основание BC. Обозначим высоту через h.
Теперь рассмотрим четырехугольник MQNP. Он может быть разбит на два треугольника: MPN и MQN. Площадь треугольника MPN равна половине произведения высоты на основание MN, а площадь треугольника MQN равна половине произведения высоты на основание MQ. Обозначим основания треугольников MPN и MQN через a и b соответственно.
Заметим, что отрезки AN и DM являются медианами треугольника ABD, а отрезки BN и CM являются медианами треугольника BCD. По свойству медиан треугольника, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1. Таким образом, мы можем записать:
AN = 2AM, DM = 2MD, BN = 2BQ, CM = 2CQ
Также заметим, что отрезки AM и MD являются половинами отрезка AB, а отрезки BQ и CQ являются половинами отрезка BC. Таким образом, мы можем записать:
AB = 2AM + 2MD = 2(AM + MD) = 2AD
BC = 2BQ + 2CQ = 2(BQ + CQ) = 2BD
Отсюда следует, что основания треугольников MPN и MQN равны:
a = MN = AD — BD/2
b = MQ = BD — AD/2
Теперь мы можем выразить площадь четырехугольника MQNP через основания треугольников MPN и MQN:
S(MQNP) = S(MPN) + S(MQN) = 1/2 * h * a + 1/2 * h * b = 1/2 * h * (a + b)
Подставляя значения a и b, получаем:
S(MQNP) = 1/2 * h * (AD — BD/2 + BD — AD/2) = 1/2 * h * BD
Таким образом, площадь четырехугольника MQNP равна половине произведения высоты на основание BD.
С другой стороны, площадь треугольника APD равна 1/2 * h * AD, а площадь треугольника BQC равна 1/2 * h * BC. Суммируя эти выражения, получаем:
S(APD) + S(BQC) = 1/2 * h * AD + 1/2 * h * BC = 1/2 * h * (AD + BC)
Заметим, что AD + BC = AB + CD = BD, так как противоположные стороны четырехугольника равны. Таким образом, мы можем записать:
S(APD) + S(BQC) = 1/2 * h * BD
Что совпадает с площадью четырехугольника MQNP. Таким образом, мы доказали, что площадь четырехугольника MQNP равна сумме площадей треугольников APD и BQC.
