Вопрос школьника
Точки M, N, E и F лежат на окружности с центом O, причем точка O равноудалена от прямых MN и EF. Докажите, что MN = EF.
Ответ от учителя
Поскольку точка O равноудалена от прямых MN и EF, то она является серединой отрезков MN и EF. Обозначим длину отрезка MN как a, а длину отрезка EF как b. Тогда, по определению окружности, расстояние от точки O до точек M, N, E и F равно радиусу окружности, то есть одному и тому же числу r.
Рассмотрим треугольники OMN и OEF. Они равнобедренные, так как OM = ON и OE = OF (это следует из определения окружности с центром O). Кроме того, у них равны углы MOE и NOF, так как они соответственные углы при равных сторонах. Значит, треугольники OMN и OEF подобны.
Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон в этих треугольниках равно отношению длин соответствующих сторон. То есть:
OM/ON = OE/OF
Но OM = ON и OE = OF, поэтому:
ON/ON = OF/OF
То есть:
1 = 1
Это означает, что длины сторон в треугольниках OMN и OEF равны, то есть a = b. Следовательно, MN = EF.
