Вопрос школьника
Точки M, N, P, K — середины сторон четырехугольника ABCD (рис. 168). Площадь четырехугольника MNPK равна 144 см2. Известно, что BD = 24 см, NH _I_ MK. Докажите, что ∠NHP = ∠NPH.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники BDC и MKH. Так как точки M и K являются серединами сторон AB и CD соответственно, то MK || BD и MK = BD/2 = 12 см. Также, по условию, NH || MK и NH = MK, следовательно, треугольники BDC и MKH подобны.
Так как точки N и P являются серединами сторон BC и DA соответственно, то NP || BD и NP = BD/2 = 12 см. Также, по условию, NH || MK и NH = MK, следовательно, треугольники BDC и MKH подобны.
Таким образом, треугольники BDC и MKH подобны, а также треугольники BDC и NPH подобны (так как NP || BD и NP = BD/2 = 12 см). Следовательно, треугольники MKH и NPH также подобны.
Из подобия треугольников MKH и NPH следует, что ∠NHP = ∠MKH. Но так как MK || BD, то ∠MKH = ∠BDC. А так как треугольники BDC и MKH подобны, то ∠BDC = ∠MKH. Следовательно, ∠NHP = ∠MKH = ∠BDC.
Также, из подобия треугольников BDC и NPH следует, что ∠NPH = ∠BDC. Следовательно, ∠NHP = ∠NPH.
