Вопрос школьника
Точки О, F и D — середины сторон АВ, ВС и АС равностороннего треугольника ABC (рис. 50, а). Точки К, Р, Т и Е — середины сторон четырехугольника OBFD. Докажите, что диагонали четырехугольника ЕКРТ равны.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник ABC равносторонний, а значит, все его стороны равны между собой. Также заметим, что точки О, F и D являются серединами сторон треугольника ABC, а значит, отрезки OF, OD и FD являются медианами этого треугольника.
По свойствам медиан треугольника, точка О делит медиану FD в отношении 2:1, а точка F делит медиану OD в том же отношении. Таким образом, мы можем записать:
OF = (2/3)FD
FD = (2/3)OD
Теперь рассмотрим четырехугольник OBFD. Заметим, что точки К, Р, Т и Е являются серединами его сторон. Также заметим, что отрезки ЕК и РТ являются медианами этого четырехугольника.
По свойствам медиан четырехугольника, точка К делит медиану РТ в отношении 2:1, а точка Е делит медиану ЕК в том же отношении. Таким образом, мы можем записать:
ЕК = (2/3)РТ
РТ = (2/3)ЕК
Теперь осталось заметить, что отрезки FD и РТ являются параллельными сторонами четырехугольника ЕКРТ (так как они являются сторонами параллелограмма OFDR). Также заметим, что отрезки ЕК и FD являются параллельными сторонами этого четырехугольника (так как они являются сторонами параллелограмма ЕКFD).
Теперь мы можем применить теорему о параллелограммах, которая гласит, что в параллелограмме противоположные стороны равны между собой. Таким образом, мы получаем:
FD = РТ
ЕК = FD
Следовательно, диагонали четырехугольника ЕКРТ равны между собой.
