Вопрос школьника
Точки О и F лежат соответственно на сторонах АВ и ВС треугольника АВС. Докажите, что прямые FО и АС параллельны, если АВ = 48 см, СB = 32 см, АО = 18 см, BF = 20 см.
Ответ от учителя
Для доказательства параллельности прямых FО и АС необходимо показать, что угол между ними равен нулю. Для этого воспользуемся теоремой о трех параллельных прямых.
Проведем через точку О прямую, параллельную АС, и обозначим точку пересечения этой прямой с ВС как D. Также проведем через точку F прямую, параллельную ВС, и обозначим точку пересечения этой прямой с АВ как Е.
Таким образом, получим параллелограмм АОЕD, в котором AO = ED и AF = FB (так как точки О и F лежат на сторонах АВ и ВС соответственно).
Рассмотрим треугольники АВС и ЕDC. Они подобны, так как углы АВС и ЕDC соответственно прямые (так как прямые FО и АС параллельны), а углы ВАС и DEC равны (как вертикальные углы). Также из подобия следует, что соотношение сторон треугольников равно:
AB/BC = ED/DC
Подставляя известные значения, получаем:
48/32 = 18/DC
Откуда DC = 12.
Таким образом, мы нашли, что точка D лежит на ВС и расстояние OD равно 12 см.
Теперь рассмотрим треугольники АОD и FEB. Они также подобны, так как углы ОАD и FBE соответственно прямые (так как прямые FО и АС параллельны), а углы ОДА и FEB равны (как вертикальные углы). Также из подобия следует, что соотношение сторон треугольников равно:
AO/OD = FB/BE
Подставляя известные значения, получаем:
18/12 = 20/BE
Откуда BE = 30.
Таким образом, мы нашли, что точка Е лежит на АВ и расстояние OF равно 30 см.
Из полученных результатов следует, что прямые FО и АС действительно параллельны, так как они являются боковыми сторонами параллелограмма АОЕD.
