Вопрос школьника
Точки О и F — соответственно середины боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС, отрезок ВТ — медиана треугольника (рис. 83, б). Вычислите длину медианы ВТ этого треугольника, если АС = 12 см, а площадь четырехугольника AOFC равна 72 см2.
Ответ от учителя
Для начала найдем длину стороны ВС равнобедренного треугольника АВС. Так как О — середина стороны АВ, то ОВ = АО = 1/2·АВ. Аналогично, ФС = СФ = 1/2·ВС. Так как треугольник равнобедренный, то ВС = 2·ФС = 2·СФ = 4·ОВ = 4·АО = 2·АВ. Значит, АВ = 1/2·ВС = 1/2·12 см = 6 см.
Теперь найдем площадь треугольника АВС. Для этого можно воспользоваться формулой Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p — полупериметр треугольника, a, b, c — длины сторон. Полупериметр равен (6+6+12)/2 = 12 см. Подставляем значения и получаем S = √(12·6·6·0) = 0. Значит, треугольник вырожденный и его площадь равна нулю.
Теперь рассмотрим четырехугольник AOFC. Он разбивается медианой ВТ на два треугольника: АВТ и СВТ. Площадь четырехугольника равна сумме площадей этих треугольников: S(AOFC) = S(АВТ) + S(СВТ). Так как АВ = 6 см, то высота треугольника АВТ, опущенная на сторону ВТ, равна h(АВТ) = √(6^2 — (12/2)^2) = √(36-36) = 0. Значит, S(АВТ) = 0. Аналогично, S(СВТ) = 0. Значит, S(AOFC) = 0.
Таким образом, мы получили, что площадь треугольника АВС и площадь четырехугольника AOFC равны нулю. Это возможно только в том случае, если точки А, В и С лежат на одной прямой. Значит, треугольник вырожденный и медиана ВТ совпадает с высотой, опущенной на сторону АС. Длина этой высоты равна h(АС) = √(12^2 — 6^2) = √(144-36) = √108 = 6√3 см. Значит, длина медианы ВТ равна 6√3 см.
