Вопрос школьника
Точки О и С — центры оснований цилиндра, АВ — его образующая, при этом точки A и. В — середины отрезков ОТ и CF соответственно. Вычислите расстояние между точками А и С, если четырехугольник OTFC — квадрат с площадью 16 см2 (рис. 81, в).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту цилиндра и расстояние между его центрами оснований.
Из условия задачи мы знаем, что четырехугольник OTFC — квадрат с площадью 16 см2. Значит, его сторона равна √16 = 4 см.
Так как точки A и В являются серединами отрезков ОТ и CF соответственно, то ОА = АТ и ВС = CF.
Также мы знаем, что О и С — центры оснований цилиндра, значит, ОС = 2r, где r — радиус основания цилиндра.
Рассмотрим треугольник ОАВ. Он является прямоугольным, так как АВ — образующая цилиндра, а ОА и ОВ — радиусы оснований.
По теореме Пифагора:
ОА² + АВ² = ОВ²
Так как ОА = АТ и АВ = 4 см, то:
АТ² + 4² = ОВ²
АТ² + 16 = ОВ²
Рассмотрим треугольник ОСВ. Он также является прямоугольным, так как ОС — радиус основания цилиндра, а ОВ — радиус его боковой поверхности.
По теореме Пифагора:
ОС² + ОВ² = СВ²
Так как ОС = 2r и СВ = 4 см, то:
(2r)² + ОВ² = 4²
4r² + ОВ² = 16
ОВ² = 16 — 4r²
Теперь мы можем выразить ОВ² через АТ:
АТ² + 16 = ОВ²
АТ² + 16 = 16 — 4r²
АТ² = -4r²
r² = -АТ²/4
r² = АТ²/4
Таким образом, мы нашли выражение для квадрата радиуса основания цилиндра через длину его образующей.
Теперь найдем высоту цилиндра. Для этого рассмотрим треугольник ОАС. Он также является прямоугольным, так как ОА — радиус основания цилиндра, а ОС — радиус его боковой поверхности.
По теореме Пифагора:
ОА² + ОС² = АС²
Так как ОА = АТ и ОС = 2r, то:
АТ² + (2r)² = АС²
АТ² + 4r² = АС²
АТ² + 4(АТ²/4) = АС²
5/4 АТ² = АС²
АС = √(5/4 АТ²)
АС = √5/2 АТ
Таким образом, мы нашли выражение для расстояния между точками А и С через длину образующей цилиндра.
Из условия задачи мы знаем, что четырехугольник OTFC — квадрат с площадью 16 см2. Значит, его сторона равна 4 см.
Таким образом, мы можем вычислить расстояние между точками А и С:
АС = √5/2 АТ = √5/2 × 4 = 2√5 см.
Ответ: расстояние между точками А и С равно 2√5 см.
