Вопрос школьника
Точки Т, F, К и Р — середины сторон АВ, ВС, CD и DA ромба ABCD соответственно Вычислите площадь круга, описанного около четырехугольника TFKP, если угол BCD = 60° и площадь ромба равна 2√3см2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длину диагонали ромба ABCD, а затем радиус описанного круга.
Поскольку сторона AB ромба равна стороне BC, а сторона CD равна стороне DA, то ромб ABCD является равнобедренным. Пусть сторона ромба равна a, тогда его диагонали равны a√2.
Так как точки T, F, K и P являются серединами сторон ромба, то каждая из них делит соответствующую диагональ на две равные части. Поэтому длина отрезка TP равна a, а длина отрезка FK равна a√3/2.
Треугольник BCD является равносторонним, так как угол BCD = 60°. Поэтому сторона BC равна стороне CD, то есть a. Также из этого следует, что угол BAC равен 120°.
Рассмотрим треугольник BTP. Он является прямоугольным, так как угол BTP равен 90° (так как TP параллельна CD, а BC пересекает их). Поэтому по теореме Пифагора:
BT² + TP² = BP²
a² + a² = (2a)²
2a² = 4a² — 4a²cos(120°)
cos(120°) = -1/2
2a² = 4a² + 2a² = 6a²
a² = 2/3
Таким образом, сторона ромба равна √(2/3), а его диагонали равны √(8/3).
Радиус описанного круга равен половине диагонали четырехугольника TFKP. Поэтому:
r = (1/2) * √(8/3) = √(2/3)
Площадь круга равна πr², поэтому:
S = π(√(2/3))² = (2/3)π
Ответ: площадь круга, описанного около четырехугольника TFKP, равна (2/3)π.
