Вопрос школьника
Точки Т, F, К и Р — соответственно середины сторон АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD (рис. 90, в). Вычислите площадь квадрата ABCD, если радиус окружности, вписанной в четырехугольник PTFK, равен 10 см.
Ответ от учителя
Рассмотрим четырехугольник PTFK. Так как он описан вокруг окружности, то сумма противоположных сторон равна. То есть, PT + FK = TF + KP. Но так как точки T, F, K и P являются серединами сторон квадрата ABCD, то PT = KP = AB/2 и TF = FK = BC/2. Подставляя это в уравнение, получаем AB + BC = 2TF + 2KP = 2BC + 2AB, откуда AB = BC. Аналогично можно доказать, что BC = CD = DA, то есть квадрат ABCD является ромбом.
Так как радиус вписанной окружности равен 10 см, то ее диаметр равен длине диагонали четырехугольника PTFK. Рассмотрим треугольник PTK. Он является прямоугольным, так как точки T, K и центр окружности лежат на одной прямой. По теореме Пифагора, PT^2 + TK^2 = PK^2. Так как PT = KP = AB/2, а TK = BC/2, то AB^2 + BC^2 = PK^2. Но так как квадрат ABCD является ромбом, то AB^2 + BC^2 = 2AB^2. Таким образом, PK^2 = 2AB^2.
Рассмотрим треугольник PFK. Он также является прямоугольным, так как точки F, K и центр окружности лежат на одной прямой. По теореме Пифагора, PF^2 + FK^2 = PK^2. Так как PF = KP = AB/2, а FK = BC/2, то AB^2/4 + BC^2/4 = 2AB^2. Отсюда AB^2 = 2BC^2 = 2CD^2 = 2DA^2.
Таким образом, площадь квадрата ABCD равна AB^2 = 2BC^2 = 2CD^2 = 2DA^2 = 8 * 10^2 = 800 см^2.
