Вопрос школьника
Точки Т, Q и Е — середины боковых ребер тетраэдра DАВС (рис. 42). Найдите длину медианы DК треугольника ВСD, если периметр треугольника ТQЕ равен 3 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство медианы треугольника, которое гласит: медиана треугольника делит противоположную ей сторону пополам.
Таким образом, мы можем сказать, что медиана DK делит сторону VS пополам. Поэтому, чтобы найти длину медианы DK, нам нужно найти длину стороны VS.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ТQE:
$TQ^2 + QE^2 = TE^2$
Так как ТQ = QE (так как Т и Е — середины боковых ребер тетраэдра DАВС), то мы можем записать:
$2TQ^2 = TE^2$
Также мы знаем, что периметр треугольника ТQE равен 3 см, то есть:
$TQ + QE + TE = 3$
Но ТQ = QE, поэтому:
$2TQ + TE = 3$
Выразим TE из этого уравнения:
$TE = 3 — 2TQ$
Подставим это выражение в теорему Пифагора:
$TQ^2 + QE^2 = (3 — 2TQ)^2$
$TQ^2 + TQ^2 = 9 — 12TQ + 4TQ^2$
$3TQ^2 — 12TQ + 9 = 0$
$TQ^2 — 4TQ + 3 = 0$
$(TQ — 1)(TQ — 3) = 0$
Отсюда получаем, что TQ может быть равно 1 см или 3 см.
Если TQ = 1 см, то TE = 1 см, а значит, VS = 2 см. Тогда медиана DK также равна 2 см.
Если TQ = 3 см, то TE = -3 см, что не имеет смысла. Значит, этот случай невозможен.
Таким образом, мы получаем, что длина медианы DK равна 2 см.
