Вопрос школьника
Точку перетину медіан трикутника (центр мас) сполучили
з його вершинами. Порівняйте площу кожного з трьох утворених
трикутників з площею даного трикутника.
Ответ от учителя
Точка перетину медіан трикутника є його центром мас і розташована на перетині медіан, які ділять кожну медіану в пропорції 2:1 від вершини до середини протилежного відрізка. Якщо з’єднати цю точку з кожною вершиною трикутника, то отримаємо три медіани, які розділять трикутник на три менші трикутники.
Площа кожного з цих трикутників може бути обчислена за допомогою формули Герона, яка використовується для обчислення площі трикутника за довжинами його сторін:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
де p — півпериметр трикутника, a, b, c — довжини його сторін.
Отже, площа кожного з трьох утворених трикутників може бути обчислена за допомогою довжин медіан, які можна знайти за допомогою теореми Піфагора. Наприклад, для трикутника ABC з медіанами AD, BE та CF, довжини медіан можуть бути обчислені за формулами:
AD = 1/2 √(2b² + 2c² — a²)
BE = 1/2 √(2a² + 2c² — b²)
CF = 1/2 √(2a² + 2b² — c²)
де a, b, c — довжини сторін трикутника.
Отже, площа кожного з трьох утворених трикутників може бути обчислена за допомогою цих формул. Щоб порівняти площу кожного з цих трикутників з площею даного трикутника, можна порівняти їх за допомогою відношення площ:
S1/S = √(p1(p1-a1)(p1-b1)(p1-c1))/√(p(p-a)(p-b)(p-c))
S2/S = √(p2(p2-a2)(p2-b2)(p2-c2))/√(p(p-a)(p-b)(p-c))
S3/S = √(p3(p3-a3)(p3-b3)(p3-c3))/√(p(p-a)(p-b)(p-c))
де S1, S2, S3 — площі утворених трикутників, a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 — довжини сторін утворених трикутників, p1, p2, p3 — півпериметри утворених трикутників.
Якщо значення відношень S1/S, S2/S та S3/S менше одиниці, то це означає, що площа утворених трикутників менша за площу даного трикутника. Якщо значення відношень більше одиниці, то це означає, що площа утворених трикутників більша за площу даного трикутника. Якщо значення відношень дорівнює одиниці, то це означає, що площа утворених трикутників дорівнює площі даного трикутника.
