Вопрос школьника
Тонкая эластичная сферическая оболочка радиусом r заполнена воздухом при температуре Т1 при давлении р1. Каким станет радиус оболочки, если её поместить в воду с тем температурой Т2 < Т1 на глубину h? Атмосферное давление равно р0.
Ответ от учителя
При помещении оболочки в воду на глубину h происходит изменение давления на её поверхности. Давление на глубине h в жидкости равно:
p = p0 + ρgh,
где p0 — атмосферное давление, ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, h — глубина.
Таким образом, давление на поверхности оболочки станет равным:
p1 = p0 + ρgh.
При этом объём газа внутри оболочки останется неизменным, так как оболочка является тонкой и эластичной. Следовательно, закон Бойля-Мариотта гласит, что при неизменном объёме газа его давление обратно пропорционально его объёму:
p1V1 = p2V2,
где V1 — объём газа при давлении p1, V2 — объём газа при давлении p2.
Так как давление на поверхности оболочки изменилось с p1 до p2, то объём газа внутри оболочки также изменится. Обозначим новый радиус оболочки через r2. Тогда объём газа внутри оболочки при давлении p2 будет равен:
V2 = (4/3)πr2^3.
Следовательно, из уравнения Бойля-Мариотта получаем:
p1V1 = p2V2,
p1(4/3)πr^3 = p2(4/3)πr2^3,
где r — исходный радиус оболочки.
Выразим новый радиус оболочки:
r2 = r( p1/p2 )^(1/3).
Подставим выражение для давления на поверхности оболочки:
r2 = r( (p0 + ρgh)/p0 )^(1/3).
Таким образом, радиус оболочки при помещении её в воду на глубину h будет равен исходному радиусу, умноженному на корень кубический из отношения давления на глубине h к атмосферному давлению.
