Вопрос школьника
Тонкий резиновый шар радиусом r = 2⋅10 − 2 м наполнен воздухом при температуре Т1 = 293 К и нормальном атмосферном давлении р0 = 10^5 Па. Каков станет радиус шара, если его поместить в воду с температурой Т2 = 277 К на глубину h = 20 м?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать закон Архимеда и уравнение состояния идеального газа.
Закон Архимеда гласит, что на тело, погруженное в жидкость или газ, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости или газа. Таким образом, если резиновый шар погрузить в воду, на него будет действовать сила Архимеда, направленная вверх и равная весу вытесненной им воды.
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объем, температуру и количество вещества газа. Для воздуха можно использовать уравнение:
pV = nRT,
где p — давление, V — объем, n — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — температура.
Из уравнения состояния идеального газа можно выразить объем воздуха внутри шара при нормальном атмосферном давлении:
V1 = nRT1/p0.
При погружении шара в воду на глубину h на него начинает действовать дополнительное давление, равное гидростатическому давлению воды на глубине h:
p2 = p0 + ρgh,
где ρ — плотность воды, g — ускорение свободного падения, h — глубина.
Таким образом, давление воздуха внутри шара при погружении в воду будет равно:
p1 = nRT2/V1.
Сила Архимеда, действующая на шар, равна весу вытесненной им воды:
F = ρVg,
где V — объем шара, вытесняющего воду.
Радиус шара после погружения в воду можно найти из условия, что сила Архимеда равна силе тяжести шара:
F = 4/3πr^3ρg = mгg,
где mг — масса шара, g — ускорение свободного падения.
Из уравнения состояния идеального газа можно выразить массу воздуха внутри шара при нормальном атмосферном давлении:
m1 = nM,
где M — молярная масса воздуха.
Таким образом, радиус шара после погружения в воду можно найти из системы уравнений:
p1V2 = m1RТ2,
p2V2 = m1RТ2,
4/3πr^3ρg = mгg,
где V2 — объем шара после погружения в воду.
Решив эту систему уравнений, получим:
r = (3m1RT2/4πρg(p2-p1)))^(1/3) = 2.02⋅10^(-2) м.
Таким образом, радиус шара после погружения в воду увеличится на 0.02⋅10^(-2) м или на 1% от исходного радиуса.
