Вопрос школьника
Треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС. Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что ОС = ОВ.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что ОС = ОВ, нужно воспользоваться свойством биссектрисы внешнего угла треугольника.
Согласно этому свойству, биссектриса внешнего угла треугольника делит его на две части, пропорциональные длинам прилежащих к этому углу сторон.
В нашем случае, биссектриса внешнего угла при вершине В делит угол между сторонами АВ и ВС на две части, пропорциональные длинам сторон АВ и ВС. Аналогично, биссектриса внешнего угла при вершине С делит угол между сторонами СА и СВ на две части, пропорциональные длинам сторон СА и СВ.
Таким образом, мы получаем две пропорции:
АВ/ВС = ОВ/ОС
СА/СВ = ОС/ОВ
Переставляя члены второй пропорции, получаем:
СВ/СА = ОВ/ОС
Учитывая, что треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть стороны АВ и СВ равны, мы можем записать:
АВ/ВС = СВ/СА
Подставляя это равенство в первую пропорцию, получаем:
СВ/СА = ОВ/ОС
Сравнивая это равенство с предыдущим, мы видим, что ОВ/ОС = ОС/ОВ, то есть ОВ = ОС.
Таким образом, мы доказали, что точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC лежит на биссектрисе угла между сторонами АВ и ВС и на биссектрисе угла между сторонами СА и СВ, и что ОС = ОВ.
