Вопрос школьника
Треугольник, две стороны которого равны 8 см и 4√3 см, вписан в окружность радиуса 4 см. Определите, в каком отношении вершины треугольника делят дугу окружности.
Ответ от учителя
Для начала, найдем третью сторону треугольника, используя теорему Пифагора:
a² = b² + c² — 2bc cos(A)
где a — третья сторона, b и c — известные стороны, A — угол между сторонами b и c.
Подставляя значения, получаем:
a² = (8 см)² + (4√3 см)² — 2(8 см)(4√3 см)cos(A)
a² = 64 см² + 48 см² — 64√3 см² cos(A)
a² = 112 см² — 64√3 см² cos(A)
a = √(112 см² — 64√3 см² cos(A))
Так как треугольник вписан в окружность радиуса 4 см, то его высота, опущенная на сторону a, проходит через центр окружности и делит дугу, на которую опирается треугольник, пополам. Обозначим точку пересечения высоты и дуги как D.
Также заметим, что треугольник является прямоугольным, так как один из углов равен 90 градусам (угол между сторонами 8 см и 4√3 см). Поэтому, высота, опущенная на сторону a, является медианой и биссектрисой этого треугольника.
Теперь рассмотрим треугольник OAD, где O — центр окружности. Он также является прямоугольным, так как угол OAD равен половине угла, опирающегося на дугу OD. Значит, мы можем использовать теорему Пифагора для него:
OD² = OA² — AD²
где OD — половина дуги, AD — медиана и биссектриса треугольника, OA — радиус окружности.
Подставляя значения, получаем:
(OD/2)² = (4 см)² — (a/2)²
OD² = 16 см² — a²
OD = √(16 см² — a²)
Таким образом, вершины треугольника делят дугу окружности в отношении:
OD : (OD + a)
или, подставляя найденные значения:
√(16 см² — a²) : (√(16 см² — a²) + a)
