Вопрос школьника
Треугольник МРК — равнобедренный, с основанием МР. Прямая АВ параллельна стороне КР; А е МК, В е МР. Найдите ∠MAB и ∠ABM, если ∠K = 72°, ∠M = 54°.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что треугольник МРК — равнобедренный, то есть сторона МК равна стороне КР. Также известно, что прямая АВ параллельна стороне КР, а А е МК, В е МР. Это означает, что треугольники МАВ и КРВ подобны, так как у них соответственные углы равны.
Из подобия треугольников МАВ и КРВ можно выразить отношение сторон:
MA/MK = VA/VR
Так как треугольник МРК равнобедренный, то МК = КР, а значит, MA = VR. Подставляем:
MA/MK = VA/VR
MA/КР = VA/MA
MA² = КР·VA
MA² = КР·(МР — MA)
MA² = КР·МР — КР·MA
MA² + КР·MA — КР·МР = 0
Решаем квадратное уравнение относительно MA:
MA = (-КР + √(КР² + 4·КР·МР)) / 2
Так как треугольник МРК равнобедренный, то угол МКР равен углу КРМ, то есть 72°. Значит, угол КМР равен (180° — 72°) / 2 = 54°.
Теперь можно найти угол МАВ:
MAV = 180° — 72° — 54° = 54°
Так как треугольник МАВ подобен треугольнику КРВ, то угол МАВ равен углу КВР. Значит, угол АBM равен 54°.
Также из подобия треугольников МАВ и КРВ следует, что угол МАВ равен углу КВР, а угол МКР равен углу МВР. Значит, угол МАВ равен (180° — 72° — 54°) / 2 = 27°.
Таким образом, угол МАВ равен 54°, а угол АBM равен 27°.
