Вопрос школьника
а) Треугольник вписан в окружность. Произвольная точка окружности проектируется на все стороны треугольника. Докажите, что все проекции лежат на одной прямой (прямая Симеона),
б) Проверьте обратное утверждение.
Ответ от учителя
а) Пусть треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Пусть P произвольная точка на окружности. Проведем линии OP, OA, OB и OC. Так как OP является радиусом окружности, то OP перпендикулярен к AP, BP и CP. Также, так как OA, OB и OC являются радиусами окружности, то они перпендикулярны к сторонам треугольника BC, AC и AB соответственно. Таким образом, мы получаем, что проекции точки P на стороны треугольника являются высотами треугольника, и они пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника. Также, так как OA, OB и OC пересекаются в точке O, то ортоцентр лежит на прямой, проходящей через O — прямой Симеона.
б) Обратное утверждение не всегда верно. Рассмотрим треугольник, у которого стороны равны 3, 4 и 5. Он вписан в окружность с центром O и радиусом 2. Пусть точка P находится на прямой Симеона, проходящей через O. Проведем линии OP, OA, OB и OC. Так как OP перпендикулярен к AP, BP и CP, то проекции точки P на стороны треугольника являются высотами треугольника. Также, так как OA, OB и OC являются радиусами окружности, то они перпендикулярны к сторонам треугольника. Таким образом, мы получаем, что проекции точки P на стороны треугольника являются высотами треугольника, и они пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника. Однако, точка P не лежит на окружности, так как расстояние от нее до центра окружности равно 2, а радиус окружности равен 2. Таким образом, мы получаем пример, когда проекции точки на стороны треугольника лежат на одной прямой, но точка не лежит на окружности, вписанной в треугольник.
