Вопрос школьника
Треугольники ABC и АВ1С имеют равные периметры, точки В и В1 расположены по одну сторону от АС. Обозначим через D точку пересечения прямых АВ и СВ1, а через Е — точку пересечения прямых АВХ и СВ. Докажите, что ЕВ + B1D = ЕВ1 + BD (точки D и Е расположены по ту же сторону от AС, что и В).
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники АВD и АВ1Е. Они имеют общую сторону АВ и равные периметры, поэтому их высоты на эту сторону равны. Обозначим через h высоту треугольника АВD на сторону АВ, а через h1 высоту треугольника АВ1Е на эту же сторону. Тогда получаем:
ЕВ + BD = h + h1
Аналогично рассмотрим треугольники СВ1D и СВЕ. Они также имеют общую сторону СВ1 и равные периметры, поэтому их высоты на эту сторону равны. Обозначим через k высоту треугольника СВ1D на сторону СВ1, а через k1 высоту треугольника СВЕ на эту же сторону. Тогда получаем:
ЕВ1 + B1D = k + k1
Заметим, что треугольники АВD и СВ1D подобны, так как у них соответственные углы равны (угол АВD равен углу СВ1D, так как они смежные вертикальные углы). Аналогично, треугольники АВ1Е и СВЕ подобны. Поэтому:
h/k = BD/B1D
h1/k1 = ЕВ1/ЕВ
Перемножим эти равенства и получим:
(h/k) * (h1/k1) = (BD/B1D) * (ЕВ1/ЕВ)
Или:
h * h1 = k * k1 * (BD/B1D) * (ЕВ1/ЕВ)
Заметим, что левая часть этого равенства равна площади четырехугольника АВ1СD, а правая часть равна площади четырехугольника АВСВ1Е. Поэтому:
S(АВ1СD) = S(АВСВ1Е)
Вычтем из обеих частей этого равенства площадь треугольника АВЕ:
S(АВ1СD) — S(АВЕ) = S(АВСВ1Е) — S(АВЕ)
Получим:
S(ЕВ1B1D) = S(ЕВBD)
Что и требовалось доказать.