Треугольники ABC и АВ1С имеют равные периметры, точки В и В1 расположены по одну сторону от АС. Обозначим через D точку пересечения прямых АВ и СВ1, а через Е

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Треугольники ABC и АВ1С имеют равные периметры, точки В и В1 расположены по одну сторону от АС. Обозначим через D точку пересечения прямых АВ и СВ1, а через Е — точку пересечения прямых АВХ и СВ. Докажите, что ЕВ + B1D = ЕВ1 + BD (точки D и Е расположены по ту же сторону от  AС, что и В).

Ответ от учителя

Рассмотрим треугольники АВD и АВ1Е. Они имеют общую сторону АВ и равные периметры, поэтому их высоты на эту сторону равны. Обозначим через h высоту треугольника АВD на сторону АВ, а через h1 высоту треугольника АВ1Е на эту же сторону. Тогда получаем:

ЕВ + BD = h + h1

Аналогично рассмотрим треугольники СВ1D и СВЕ. Они также имеют общую сторону СВ1 и равные периметры, поэтому их высоты на эту сторону равны. Обозначим через k высоту треугольника СВ1D на сторону СВ1, а через k1 высоту треугольника СВЕ на эту же сторону. Тогда получаем:

ЕВ1 + B1D = k + k1

Заметим, что треугольники АВD и СВ1D подобны, так как у них соответственные углы равны (угол АВD равен углу СВ1D, так как они смежные вертикальные углы). Аналогично, треугольники АВ1Е и СВЕ подобны. Поэтому:

h/k = BD/B1D

h1/k1 = ЕВ1/ЕВ

Перемножим эти равенства и получим:

(h/k) * (h1/k1) = (BD/B1D) * (ЕВ1/ЕВ)

Или:

h * h1 = k * k1 * (BD/B1D) * (ЕВ1/ЕВ)

Заметим, что левая часть этого равенства равна площади четырехугольника АВ1СD, а правая часть равна площади четырехугольника АВСВ1Е. Поэтому:

S(АВ1СD) = S(АВСВ1Е)

Вычтем из обеих частей этого равенства площадь треугольника АВЕ:

S(АВ1СD) — S(АВЕ) = S(АВСВ1Е) — S(АВЕ)

Получим:

S(ЕВ1B1D) = S(ЕВBD)

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *