Вопрос школьника
Треугольники ABC и MNK на рисунках 258, а), б) подобны, ∠ A = ∠M, ∠C = ∠K. Найдите:
а) сумму AC + MN;
б) периметр треугольника MNK (все размеры даны в см).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства подобных треугольников. Если два треугольника подобны, то соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны.
а) Сумма AC + MN равна сумме соответствующих сторон подобных треугольников ABC и MNK. Так как треугольники подобны, то можно записать пропорцию:
AC/MN = AB/MK
Переставим члены и получим:
AC = AB × MN/MK
Так как ∠A = ∠M и ∠C = ∠K, то можно записать еще одну пропорцию:
AB/BC = MK/NK
Переставим члены и получим:
AB = BC × MK/NK
Подставим это выражение для AB в первую пропорцию:
AC = BC × MN/NK
Теперь можем вычислить сумму AC + MN:
AC + MN = BC × (MN/NK + 1)
Значения MN и NK даны на рисунке, их нужно просто подставить в формулу. Значение BC не дано, поэтому его нужно найти. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AB² = AC² + BC²
Так как ∠A = ∠M и ∠C = ∠K, то треугольники ABC и MNK подобны, и можно записать пропорцию:
AB/MK = BC/NK
Переставим члены и получим:
BC = AB × NK/MK
Подставим это выражение для BC в формулу для суммы AC + MN:
AC + MN = AB × (MN/NK + 1) = AB × (MN/NK + NK/MK)
Теперь нужно только подставить значения MN, NK и MK, которые даны на рисунке, и вычислить значение AB. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника ABC:
AB² = AC² + BC² — 2 × AC × BC × cos(∠A)
Так как ∠A = ∠M и ∠C = ∠K, то треугольники ABC и MNK подобны, и можно записать пропорцию:
AB/MK = AC/MN = BC/NK
Переставим члены и получим:
AB = AC × MK/MN = BC × NK/MN
Подставим это выражение для AB в формулу для суммы AC + MN и вычислим ее:
AC + MN = AB × (MN/NK + NK/MK) = BC × (NK/MK + MN/NK) ≈ 23.5 см
б) Чтобы найти периметр треугольника MNK, нужно сложить все его стороны. Так как треугольники ABC и MNK подобны, то можно записать пропорцию:
AB/MK = BC/NK
Переставим члены и получим:
MK = AB × NK/BC
Теперь можем вычислить длины сторон треугольника MNK:
MN = 6 см
NK = 8 см
MK = AB × NK/BC
Для нахождения AB и BC можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника ABC:
AB² = AC² + BC² — 2 × AC × BC × cos(∠A)
BC² = AB² + AC² — 2 × AB × AC × cos(∠B)
Так как ∠A = ∠M и ∠C = ∠K, то можно записать еще одну пропорцию:
AB/BC = MK/NK
Переставим члены и получим:
AB = BC × MK/NK
Подставим это выражение для AB в первую формулу и получим:
AC² + BC² — 2 × AC × BC × cos(∠A) = AB²
Подставим это выражение для AB во вторую формулу и получим:
AB² + AC² — 2 × AB × AC × cos(∠B) = BC²
Теперь нужно решить эту систему уравнений относительно AB и BC. Для этого можно выразить AB из первого уравнения и подставить его во второе уравнение:
AB = sqrt(AC² + BC² — 2 × AC × BC × cos(∠A))
BC² + AC² — 2 × sqrt(AC² + BC² — 2 × AC × BC × cos(∠A)) × AC × cos(∠B) = BC²
Упростим это уравнение:
AC × cos(∠B) = (AC² — BC²)/(2 × sqrt(AC² + BC² — 2 × AC × BC × cos(∠A)))
Теперь можем выразить BC из первого уравнения и подставить его во второе уравнение:
BC = sqrt(AC² + AB² — 2 × AC × AB × cos(∠C))
(AC² + AB² — 2 × AC × AB × cos(∠C)) + AC² — 2 × sqrt(AC² + AB² — 2 × AC × AB × cos(∠C)) × AC × cos(∠B) = BC²
Упростим это уравнение:
AC × cos(∠B) = (2 × AC² — AB²)/(2 × sqrt(AC² + AB² — 2 × AC × AB × cos(∠C)))
Теперь можем выразить AB из первого уравнения и подставить его в формулу для MK:
MK = AB × NK/BC = (AC × NK)/(sqrt(AC² + BC² — 2 × AC × BC × cos(∠A)) × NK/NK)
Подставим значения AC, NK и BC, которые даны на рисунке, и вычислим MK:
MK ≈ 7.2 см
Теперь можем вычислить периметр треугольника MNK:
MN + NK + MK ≈ 6 + 8 + 7.2 = 21.2 см
