Вопрос школьника
Треугольники ABD и ACD с общей стороной АD расположены в плоскости так, что их стороны BD и АС пересекаются в точке О. При этом АВ = CD и АС = BD. Докажите, что угол OAD = углу ODA.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства углов OAD и ODA воспользуемся теоремой синусов для треугольников ABD и ACD.
В треугольнике ABD по теореме синусов имеем:
BD/sin(ADB) = AB/sin(BAD)
В треугольнике ACD по теореме синусов имеем:
CD/sin(ADC) = AC/sin(CAD)
Учитывая, что AB = CD и AC = BD, получаем:
BD/sin(ADB) = CD/sin(ADC)
Перенесем одно слагаемое в другую часть и преобразуем:
BD/CD = sin(ADB)/sin(ADC)
Так как углы ADB и ADC смежные, то их сумма равна 180 градусов:
ADB + ADC = 180°
Выразим из этого уравнения угол ADC:
ADC = 180° — ADB
Подставим это выражение в формулу для отношения сторон:
BD/CD = sin(ADB)/sin(180° — ADB)
Учитывая, что sin(180° — x) = sin(x), получаем:
BD/CD = sin(ADB)/sin(ADB)
То есть:
BD/CD = 1
Отсюда следует, что треугольники ABD и ACD подобны с коэффициентом подобия 1:1. Следовательно, углы AOD и ADO равны, что и означает равенство углов OAD и ODA.
