Вопрос школьника
Три окружности попарно касаются друг друга извне в точках A, B и C. Прямая AB пересекает в точке M прямую, проходящую через центры окружностей, касающихся в точке C. Докажите, что отрезок касательной (от точки M до точки касания) к окружности, проходящей через точки A и B, равен MC.
Ответ от учителя
Рассмотрим данную конструкцию на рисунке:
Пусть $O_1$, $O_2$ и $O_3$ — центры окружностей, $r_1$, $r_2$ и $r_3$ — их радиусы, $l$ — расстояние между центрами окружностей, $P$ — точка касания окружностей, $Q$ — точка пересечения прямых $AB$ и $O_2O_3$, $R$ — точка пересечения прямых $O_1P$ и $AB$.
Так как окружности попарно касаются друг друга извне, то $O_1O_2O_3$ — треугольник, вписанный в окружность с центром в точке $P$. Также, так как $AB$ пересекает $O_2O_3$ в точке $Q$, то $R$ — середина отрезка $AB$.
Заметим, что треугольник $O_1RP$ подобен треугольнику $O_3CP$ по двум углам, так как $angle O_1RP = angle O_3CP$ (они оба равны $angle ACP$) и $angle O_1PR = angle O_3PC$ (они оба равны $angle BCP$). Также, треугольник $O_1RP$ подобен треугольнику $O_2MQ$ по двум углам, так как $angle O_1RP = angle O_2MQ$ (они оба равны $angle QAB$) и $angle O_1PR = angle O_2QM$ (они оба равны $angle QBA$).
Отсюда следует, что $frac{O_1P}{O_3P} = frac{O_1R}{O_3C}$ и $frac{O_1R}{O_2M} = frac{O_1P}{O_2Q}$. Перепишем эти равенства в терминах радиусов и расстояния между центрами окружностей:
$$frac{r_1}{r_3} = frac{r_1 — l}{r_3 — l}$$
$$frac{r_1 — l}{r_2 + r_3} = frac{r_1}{r_2 — r_1}$$
Решая эту систему уравнений, получаем:
$$frac{r_1}{r_2} = frac{r_3}{r_2}$$
Таким образом, окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, касается окружности с центром в точке $C$ в точке $M$, причем отрезок касательной от точки $M$ до точки касания равен $MC$.
