Вопрос школьника
Три окружности с центрами O1, O2, O3 и радиусами, равными 2 см, 4 см и 6 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника O1O2O3
Ответ от учителя
Так как окружности касаются друг друга внешним образом, то центры окружностей O1, O2 и O3 лежат на одной прямой. Пусть O1O2 = a, O2O3 = b и O1O3 = c — стороны треугольника O1O2O3. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
a^2 = (2+4)^2 = 36
b^2 = (4+6)^2 = 100
c^2 = (2+6)^2 = 64
Так как треугольник O1O2O3 является остроугольным, то его площадь можно найти по формуле Герона:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
где p — полупериметр треугольника, равный (a+b+c)/2. Подставляя значения a, b и c, получаем:
p = (a+b+c)/2 = 5+2sqrt(7)
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(105+50sqrt(7)) ≈ 16.5 см^2
Таким образом, площадь треугольника O1O2O3 равна примерно 16.5 см^2.
