Вопрос школьника
Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1
Ответ от учителя
Для доказательства подобия треугольников АВС и А1В1С1 необходимо показать, что они имеют равные углы и соответствующие стороны пропорциональны.
Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1. Они имеют общую вершину А и параллельные стороны ВС и В1С1. Также, поскольку прямые, проходящие через одну точку, пересекают плоскость в точках А, В, С и А1, В1, С1, то стороны АВ и А1В1, АС и А1С1, ВС и В1С1 параллельны.
Рассмотрим углы треугольников АВС и А1В1С1. Угол АВС равен углу А1В1С1, так как они соответственные углы при параллельных сторонах. Угол ВАС равен углу В1А1С1, так как они вертикальные углы. Угол САВ равен углу С1А1В1, так как они вертикальные углы. Таким образом, углы треугольников АВС и А1В1С1 равны.
Осталось показать, что соответствующие стороны пропорциональны. Рассмотрим отношение длин сторон АВ и А1В1. Оно равно отношению расстояний между параллельными прямыми, проходящими через А и В1. Аналогично, отношение длин сторон АС и А1С1 равно отношению расстояний между параллельными прямыми, проходящими через А и С1. Отношение длин сторон ВС и В1С1 равно отношению расстояний между параллельными прямыми, проходящими через В и С1. Поскольку эти расстояния пропорциональны, то и соответствующие стороны треугольников АВС и А1В1С1 пропорциональны.
Таким образом, мы доказали, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны.
